Question

初二数学勾股定理题

已知a,b,c,d均为正数，求证√(a^2+c^2+d^2+2cd) + √(b^2+c^2) > √(a^2+b^2+d^2+2ab)

Answer 1

如图，以a+b，c+d长的线段为邻边作矩形ABCD,E、F、G、H为矩形ABCD边上的点，

图中标出了长度。

DF=√(DC^2+FC^2)=√[a^2+(c+d)^2]=√(a^2+c^2+d^2+2cd),

GF=√(GB^2+BF^2)=√(b^2+c^2),

GD=√(AG^2+AD^2)=√[d^2+(a+b)^2]=√(a^2+b^2+d^2+2ab),

因为DF+GF>GD,

所以√(a^2+c^2+d^2+2cd)  +  √(b^2+c^2)  >  √(a^2+b^2+d^2+2ab)

Answer 2

证明：构造如图的长方形，

AB=GF=a，BC=EF=b,AH=BI=CD=c,HG=FI=DE=d,

在直角三角形ABG中，由勾股定理，得BG^2=AB^2+AG^2=a^2+(c+d)^2,即BG=√((a^2+c^2+d^2+2cd) 

在直角三角形BCD中，由勾股定理，得BD^2=BC^2+CD^2=b^2+c^2,即BD=√(b^2+c^2)  

在直角三角形DEG中，由勾股定理，得DG^2=DE^2+EG^2=d^2+(a+b)^2,即√(a^2+b^2+d^2+2ab)

又三角形两边之和大于第三边，即BG+BD>DG

所以√(a^2+c^2+d^2+2cd)  +  √(b^2+c^2)  >  √(a^2+b^2+d^2+2ab)

见下图：（稍等。。）

Answer 3

如图，AB+BC>AC