Question

高三数学理科模拟考试题

已知关于x的方程x^3+ax^2+bx+c=0的三个跟可分别作为一个椭圆，一个双曲线和一个抛物线的离心率，则（b-1）/（a+1）的取值范围是_____________。
要求写出过程，回答较充分再追加50分或更多分数。

Answer 1

解：依题意，关于x的方程 x^3+ax^2+bx+c=0有一个根是1
所以可设
x^3+ax^2+bx+c=(x-1)(x^2+mx+n)
根据多项式恒等的充要条件，得
m-1=a____________(1)
n-m=b____________(2)
n+c=0____________(3)
取（1）.（2）两式联立
m=a+1
n=a+b+1
构造函数 f(x)=x^2+mx+n 即 f(x)=x^2+(a+1)x+(a+b+1)
依题意f(x)=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率
故 0<x1<1<x2
根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：
判别式=(a+1)^2-4(a+b+1)=(a-1)^2-4b-4>0
f(0)=a+b+1>0
f(1)=2a+b+3<0
令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，
设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1）， k=（b-1）/（a+1）
则k的几何意义是直线PA的斜率。
作图，得 -2<k<0 即-2<（b-1）/（a+1）<0