Question

奥数题 最好有过程

（1）、从1、2、……100这100个数中，每次取两个数，使其和大于100，共有多少种取法？

（2）、用1~9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数。那么，其中的四位完全平方数最小是多少？

（3）、服装店购进A型和B型两批服装，成本共2160元。A型服装按25%的利润定价，B型服装按10%定价，事际都按定价的90%打折出售，结果获利140、4元，那么A型服装的成本价多少元？

（4）、100个人聚会，其中任意12个人中均有两个人彼此认识，现随意将这100个人编号，号码都是自然数（但不一定是从一到一百），证明必有两个认识的人，他俩的号码以相同的数字开头（即最高位的数字相同）。

（5）、在黑板上写上1、2，接着每个学生按下面规则写数：对黑板上写好的两个不同的书X、Y，他可以写出X×Y＋X＋Y。
1、试写出（除1、2外）前六个可以写出的数。

2、试问1791能否按上述规则写出来？说明理由。

Answer 1

1. 设取出的两个数为a, b； 不妨设a>b, 由a+b>100知 a>=51
a=51 时 b=50; 1个
a=52 时 b=51，50，49; 3个
a=53 时 b=52，51，50，49，48; 5个
。。。
a=100 时 b=99，98...1; 99个
共有1+3+5+....+99=2500种

2. 逐个验证四位完全平方数，其中各位数字不同的最小完全平方数为36*36=1296，但此时余34578，无法满足条件； 37*37=1369, 剩余23478, 此时可取25 和 784 可满足条件，因此最小为1369

3. 设A成本x元，则B成本2160-x元， 则有方程：
x*1.25*0.9-x+[(2160-x)*1.1*0.9-(2160-x)]=140.4
=> 0.125x-0.01(2160-x)=140.4
=> 0.115x=162
x=1408.70

4. 按开头数字最多可以分9组（1-9），每组互不认识最多可以有11人，9*11=99，而总共100人，因此必有两个认识的人，开头数字相同

5.
1)可以出现的前8个数字:
1, 2, 5, 11, 17, 23, 35, 71

2) 显然这是对x,y 分别递增的数列
而 35*71+35+71 >1791> 23*71+23+71
因此无法写出