Question

一道高二数学题(请进！请详细说明！谢谢!)

设a为实数，已知函数f(x)=1/3x^3-ax^2+(a^2-1)x,若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围。

Answer 1

首先，不论a取何值，x=0为其固定的一个根
即当x=0时，f（0）=0，0为其一根
当x不等于0时，这时，f（x）=x[1/3x^2-ax+(a^2-1)]
设g（x）=1/3x^2-ax+(a^2-1)，这时，当x=0时，a=正负1，但与上面那个根就重了，所以这时a不能等于正负1
下一步算出g（x）取两个不等实根的条件，即b^2-4ac>0算出a属于（-2，2）且a不等于正负1

Answer 2

如下

Answer 3

f'(x)=x^2-2ax+a^2-1=0
x=1-a,x=-1-a
所以极大和极小是f(-a+1),f(-a-1)
有三个根
则f(x)=0在极大和极小之间
即两个值异号
f(-a+1)f(-a-1)<0
[1/3(-a+1)^3-a(-a+1)^2+(a^2-1)(-a+1)][1/3(-a-1)^3-a(-a-1)^2+(a^2-1)(-a-1)]<0
即[1/3(a-1)^3-a(a-1)^2+(a^2-1)(a-1)][1/3(a+1)^3-a(a+1)^2+(a^2-1)(a+1)]<0
(a+1)^2(a-1)^2[1/3(a-1)-a+(a+1)][1/3(a+1)-a+(a-1)]<0
所以a≠±1时
所以(a+2)(a-2)<0
-2<a<2

所以
-2<a<-1,-1<a<1,1<a<2

Answer 4

由f(0)=0得，方程有一个根为0
f(x)=1/3x^3-ax^2+(a^2-1)x
=x[(1/3)x^2-ax+(a^2-1)]
△=a^2-(4/3)(a^2-1)
=(-1/3)a^2+(4/3)＞0
-2＜a＜2