Question

若F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点，P是椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4

|F1F2|=2√3，
1.求出椭圆的方程。
2.是否存在过定点N（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A,B，使向量OA垂直向量OB（O为坐标原点）?若存在，求斜率K;若不存在，说明理由。

Answer 1

若F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点，P是椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3，
1.求出椭圆的方程。
2.是否存在过定点N（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A,B，使向量OA垂直向量OB（O为坐标原点）?若存在，求斜率K;若不存在，说明理由。
解：根据题意
2a=4，a=2
2c=2√3，c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
椭圆方程：x²/4+y²=1
(2)设过点N的直线y=kx+2
代入椭圆方程x²/4+y²=1即x²+4y²=4
整理：(4k²+1)x²+16kx+12=0
韦达定理：x1+x2=-16k/(4k²+1)，x1*x2=12/(4k²+1)
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k²x1x2+2k(x1+x2)+4
如果k存在且使向量OA垂直向量OB,即y1/x1*y2/x2=-1则
x1x2+y1y2=0
x1x2+k²x1x2+2k(x1+x2)+4=0
12/(4k²+1)+12k²/(4k²+1)-32k²/(4k²+1)+4=0
12+12k²-32k²+16k²+4=0
k²=4
k=±2
所以存在k，符合题意，此时k=±2