Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b (a,b属于R),若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围

为什么它的导函数要有两个不等的实数根，即a≠-1/2，若只有一个行吗？

Answer 1

由已知得，
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2).
若a=-1/2，则
f'(x)=3x^2+3x+3/4
=3/4(4x^2+4x+1)
=3/4(2x+1)^2≥0，
即a=-1/2时，f'(x)≥0，f(x)为定义域上的增函数，所以
f(x)在(-1,1)上为增函数，单调，与原题不符合，所以
a≠-1/2.

追问

你这是知道a≠-1/2后再推的吧，我想知道答案的a≠-(a+2)/3是怎么的来的，谢谢您了

追答

您客气了，能帮助您是我的荣幸！
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2).
Δ=4(1-a)^2+12a(a+2)=4(2a+1)^2≥0，
则只有俩种结果，a=-1/2或a≠-1/2.
前者即为Δ＞0，后者证过了,只有前者满足。
而且题目为三次函数，由题意则必有两个极值点，否则为单调函数，不满足题意。
所以导函数要有俩个不等实根。

Answer 2

f(x)是连续函数，故由题意得：f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)(3x+a+2) 在（-1，1）上能取0解，x=a或x=-(a+2)/3,所以a或-(a+2)/3在（-1，1）上，可得-5<a<1.好久没做过这样的题了，不知对否，希望能帮到你。

追问

你和我做的一样诶，但答案说导函数要有两个不同的实数根，所以a≠-1/2.，我就不明白为什么要两个不同的