Question

设等比数列{An}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9 （1)求数列的公比q;(2)求证：2S3，S6，S12-S6成等比数列

Answer 1

推荐答案 【解】 an=a1q^(n-1);则有：
Sn=a1(1-q^n)/(1-q);
S3+S6=a1(1-q^3)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)=2*a1(1-q^9)/(1-q);
即:
(1-q^3)+(1-q^6)=2(1-q^9)；
令:a=q^3;则：
(1-a)+(1-a^2)=2(1-a^3)
a= -1/2
所以:
q=-(1/2)^(1/3)

第二问没什么难得，自己证一下

Answer 2

考点：等比关系的确定．

专题：计算题．

分析：（Ⅰ）分公比等于1，验证数列是否成立；公比不等于1，利用前n项和公式求出公比，即可；
（Ⅱ）通过公比，推出S62S3=S12-S6S6，即可证明数列是等比数列．

解答：解 （Ⅰ）当q=1时，S3+S6=9a1，2S9=18a1．因为a1≠0，所以S3+S6≠2S9，由题设q≠1．从而由S3+S6=2S9得a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2•a1(1-q9)1-q，化简得2q9-q6-q3=0，
因为q≠0，所以2q6-q3-1=0，即（2q3+1）（q3-1）=0．又q≠1，所以q3=-12，q=-123．
（Ⅱ）由q3=-12得S62S3=12•S6-S3+S3S3=12•(S6-S3S3+1)=12•(q3+1)=12(-12+1)=14；
又S12-S6S6=q6=(-12)2=14，所以S62S3=S12-S6S6，从而2S3，S6，S12-S6成等比数列．

点评：本题是中档题，考查数列的基本性质，注意等比数列公比的讨论，等比数列的证明，考查计算能力，常考题型．