Question

已知自然数a，b，c满足a²+b²+c²+42<4a+4b+12c和a²-a-2>0,则代数式1/a+1/b+1/c的值是

八年级希望杯数学竞赛的原题，麻烦把每个数的平方打清楚

Answer 1

解：
a²-a-2>0
(a-2)(a+1)>0
a>2或a<-1(舍去)
a至少为3
a²+b²+c²+42<4a+4b+12c
a²-4a+4+b²-4b+4+c²-12c+36<2
(a-2)²+(b-2)²+(c-6)²<2
(a-2)²≥(3-2)²=1，又(4-2)²=4>2，因此a=3 (a-2)²=1
(b-1)²≥0 (c-6)²≥0
若(b-1)²和 (c-6)²中有一个大于或等于1时，和大于或等于2，不等式不成立。因此
b-1=0 b=1
c-6=0 c=6
1/a+1/b+1/c=1/3+1/1+1/6=3/2