Question

如图,圆O与圆A相交于C,D两点,A,O分别为两圆圆心,三角形ABC内接于圆O,弦CD交AB于G,交AO于F。

如图,圆O与圆A相交于C,D两点,A,O分别为两圆圆心,三角形ABC内接于圆O,弦CD交AB于G,交AO于F。求证AC的平方=AG*AB

Answer 1

利用圆周角的概念及相似三角形来证，证法如下。
在⊙O中，∵⊙A的半径AC=AD，∴弧AC=弧AD，圆周角∠ACD=∠ADC=∠ABC。在△ACG和△ABC中，∠CAG=∠BAC以及∠ACG=∠ABC，于是△ACG∽△ABC，其对应边AG/AC=AC/AB，就是AC²=AG*AB。

Answer 2

证明：根据垂径定理
AO垂直平分CD
所以CF=DF
在圆O中，CD和AB是2条相交弦
根据相交弦定理
AG*BG=CG*DG
AG*(AB-AG)=(CF+FG)(DF-FG)
AG*AB-AG²=(CF+FG)(CF-FG)
AG*AB=CF²+AG²-FG²
在直角三角形AGF中AG²-FG²=AF²
同理在直角三角形ACF中AC²=AF²+CF²
所以AG*AB=CF²+AF²
所以AC²=AG*AB

追问

谢谢你
但相交弦定理是什么？
我们还没学。。
有点看不懂

追答

圆内任意两条弦AB和CD交于P
则有AP*PB=CP*PD
可以通过相似证明
我们可以直接使用