Question

一道高中数学问题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为棱BB1上异于点BB1的任意一点,PA与A1B交于点M,PC与C1B交于点N。
求证：MN//平面ABCD
RT

Answer 1

过点M作ME//AB，过点N作NE1//BC，分别交BB1于E，E1
因为ME//AB//A1B1，所以BE/BB1=BM/BA1=ME/A1B1=ME/AB=PE/PB （1）
又因为NE1//BC//B1C1，所以BE1/BB1=BN/BC1=NE1/B1C1=NE1/BC=PE1/PB （2）
两式相除得到：BE/BE1=PE/PE1 （3）
若BE>BE1，则有 E在线段E1B1上，
这时由（3）得到 PE>PE1，也就是说点E在PE1的延长线上，这里的两个说法矛盾，因此BE>BE1不能成立，
同样，BE<BE1也不能成立。
因此点E和点E1重合。
于是ME//AB，NE//BC
所以过点M、N、E的平面//平面ABCD
因此MN//平面ABCD

Answer 2

this is too hard