Question

在三角形ABC中，AB=AC，角BAC等于120度，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接CD，那么角ADC等于...

在三角形ABC中，AB=AC，角BAC等于120度，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接CD，那么角ADC等于多少度？解题过程

Answer 1

过C作AB的垂线，与AB的延长线交于H
因为角BAC=120度，所以角CAH=60度
因此在直角三角形ACH中，AC=2AH，HC=根号3×AH
AB=AC=2AH
AD=AB/2=AH
因此DH=AD+AH=2AH
因此角ADC=arctan(CH/HD)=arctan[ (根号3)/2 ]

Answer 2

过C作CF垂直BA交BA的延长线于点F，则∠FCA=30°，若设BD=DA=a，则FA=(1/2)AC=a，CF=√3a，从而在直角三角形CDF中，有tan∠ADC=CF/DF=√3/2。

Answer 3

设AB=AC=2,则AD=1,
由余弦定理，CD^2=1+4+2=7,CD=√7.
cosADC=(AD^2+DC^2-AC^2)/(2AD*DC)=(1+7-4)/(2√7）=（2√7）/7，
∴角ADC=arccos[(2√7)/7]≈40.89339465°。

Answer 4

设AC=2，AD=1，∠ADC=x，∠ACD=y，
由正弦定理：1/siny=2/sinx
sinx=2siny，由x+y=60°，
∴sinx=2sin（60°-x）

sinx=√3cosx-sinx，
∴2sinx=√3cosx，
tanx=√3/2，
∴∠ADC=x=arctan（√3/2）