Question

1.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y^2=x上，则正方形ABCD的面积为？ 2.在抛物线y^2=16x

1.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y^2=x上，则正方形ABCD的面积为？

2.在抛物线y^2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是？

已知两点M(1，5/4)、N(-4，-5/4)，给出下列曲线方程:
1)4x+2y-1=0 2)x^2+y^2=3
3)x^2/2+y^2=1
4)x^2/2-y^2=1
再曲线上存在p点满足|Mp|=|Np|的所有曲线方程是？

Answer 1

(1)正方形ABCD中AB与CD平行，则设CD所在直线方程为：y=x+b，化成x=y-b代入抛物线方程得：y^2-y+b=0，则y1+y2=1,y1*y2=b,则由弦长公式可得CD=√2*√[（y1+y2）^2-4y1y2]
两直线AB与CD之间的距离为：|b-4|/√2，则|k-4|/√2=√2*√[（y1+y2）^2-4y1y2]，即
|b-4|=2*√[（y1+y2）^2-4y1y2]=2*√[1-4b]，解得b=-2或-6，
所以CD=3√2或5√2，所以正方形ABCD的面积为18或50。
(2)由图象可知这条直线的斜率肯定存在且不为0，设其为k ，则方程为：y-1=k(x-2)，
将其代入y^2=16x得：y^2=16[（y-1)/k+2]，即y^2-16y/k+16/k-32=0，则y1+y2=2=16/k，可解得k=8。
(3)点满足|Mp|=|Np|的P在MN的中垂线上，由线上要存在p点满足|Mp|=|Np|，则曲线要与MN的中垂线要有交点，MN的斜率为：1/2，中点为：（-3/2，0）则其中垂线为：y=-2(x+3/2)
即y=-2x-3，它与（2）（3）（4）中的曲线都有公共点。