Question

在锐角△ABC中 AD⊥BC于点D BC=6 S△ABC=12 两动点M N分别在边AB AC上

在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN‖BC，以MN为边向下作正方形MPQN（BC与正方形MPQN有公共点），设其边长为x，正方形MPQN与△ABC的公关部分（即四边形MEFN）的面积为y（y>0)
(1)求AD的长;
(2)求ME的长(用x表示),并写出x的取值范围;
(3)当x为何值时,y最大?y的最大值是多少?

Answer 1

1、S△ABC=BC*AD/2=12，又BC=6，则AD=4。
2、正方形MPQN边长为x，
又相似△定理，（AD-ME）：AD=x/2：BD，即4-ME=4*x/2/3=2x/3，
ME=4-2x/3，
又4-2x/3＞0，且4-2x/3≤x（BC与正方形MPQN有公共点），
则x取值范围为2.4≤x＜6。
3、y=(4--2x/3)*x，x=3时，y最大，即MN滑动到AD的中点，
ymax=2*3=6

Answer 2

解：AD=4.

Answer 3

（1）求公共部分是正方形时的面积，
作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵BC=6，S△ABC=12，
∴AD=4，
∵MN‖BC，
∴ 即 ，
解得x=2.4，
此时面积y=2.42=5.76．

（2）当公共部分是矩形时如图所示：
设DE=a，根据 得 = ，
所以a=4- x，公共部分的面积y=x（4- x）=- x2+4x，
∵- ＜0，
∴y有最大值，
当x=- =3时，y最大值= =6．
综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．