Question

高中数学 抛物线

抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8．
（1）求P的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

1)由y^2=2px（p＞0）与直线y=x+1联立消去y得到x^2+(2-2p)x+1=0
相切得到判别式=0得到p=2
2)|AF|+|BF|=8得到x1+x2+P=8，所以x1+x2=6
所以AB中点问题点差法，
y1^2=4x1
y2^2=4x2
两个式子相减得到直线AB的斜率K=（y2-y1）/ (x1-x2)=4/ (y2+y1)所以K* (y2+y1)=4
中点，（3，(y2+y1)/2）所以AB中垂线的方程是：y-(y2+y1)/2=-1/K*(x-3)
令y=0得到x= K* (y2+y1)/2+3=5所以C点坐标（5,0）
3)直线L可以设为y=k(x-5),
由第二问知道(y2+y1)=4k
所以AB的方程是：y-(y2+y1)/2=-1/k*(x-3)
即y-2k=-1/k*(x-3),与抛物线有两个交点A,B,联立方程组判别式>0，就容易求得，
这么多有点累，后面自己算就很简单了，、
亲，采纳啊