Question

求解答一道跟微积分中值定理有关的题目

f(x)在（-∞，+∞）上有一阶连续导数，f′（1/2）=0,证明存在ε∈（0，1/2）使
f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]

Answer 1

令F(x)=f '(x)-2x[f(x)-f(0)]
F(0)=f '(0)
F(1/2)=f(0)-f(1/2)
不妨设f '(0)>0，即F(0)>0
若f ‘(0)在(0,1/2)上不变号，则f(1/2)>f(0)
因此F(0)>0>F(1/2)
则根据介值定理，存在ε∈(0,1/2)，使F(ε)=0，于是f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
若f '(0)在(0,1/2)变号，则存在至少一点ci∈(0,1/2)，使f '(ci)=0
令c1是所有ci中最小的，也就是从0开始，f '(c1)第一次等于0
那么F(c1)=f '(c1)-2c1[f(c1)-f(0)]= -2c1[f(c1)-f(0)]
因为f '(c1)是从0开始第一个导函数为0的点，因此在(0,c1)上f '(x)恒大于0，也就是说f(c1)>f(0)
因此F(c1)<0<F(0)
于是存在ε∈(0,1/2)，严格来说是ε∈(0,c1)，使f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
同理可证f '(0)<0的情况
若f '(0)=0，在0的右去心邻域上不小于0
则存在d<0.1，在(0,d)上f '(0)单调递增
因此F(d)=f '(d)-2d[f(d)-f(0)]>f '(d)-2d*[d*f '(d)]=f '(d)(1-2d^2)>0
此时可与F(0)>0类似，证得存在ε∈（0，1/2）使f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
于是本题得证

Answer 2

设存在一函数g(x)，F(x)=[f(x)-f(0)][g(1/2)-g(x)]
根据柯西中值定理，由F(1/2)=F(0)=0，得到
[f(ε)-f(0)]/[g(1/2)-g(0)]=f'(ε)/g'(ε)
对比要证明的式子构造函数g（x）
因为只要g(x)即可，所以可以化简方程
令g'(x)=-2xg(x),g(0)=0
解出g(x)=e^(-x^2)+e^(-1/4),
得证…
顺便说一下，由于题目中有个f′（1/2）=0的条件没用到，我觉得这个条件是简单解法的关键，考虑把这项添加到左边后构造函数，但是没做出来。抱歉，微积分不是很熟了……