Question

已知等差数列（an}得公差d不等于零，前n项的和为Sn <1>求证：点P1（1，S1/1),(2,S2/2),(3,S3/3)....(n,Sn/

已知等差数列（an}得公差d不等于零，前n项的和为Sn
<1>求证：点P1（1，S1/1),(2,S2/2),(3,S3/3)....(n,Sn/n)在同一条直线L1上
<2>过点Q1（1，a1),Q2(2,a2)做直线L2.设L1与L2的夹角为A，求证tanA小于等于（四分之根二）
第一问不用了

Answer 1

根据题意有：
直线l2的斜率k2=（a2-a1)/(2-1)=a2-a1;
直线l1的斜率k1=（s2/2-s1)/(2-1)=s2/2-s1=(a1+a2)/2-a1=(1/2)(a2-a1).

根据到角公式有：
tanA=(K2-K1)/(1+K1K2)=(1/2)(a2-a1)/[1+(1/2)(a2-a1)]^2=(a2-a1)/[2+(a2-a1)^2]
=1/[2/(a2-a1) +(a2-a1)];
对于分母，运用不等式定理有：
[2/(a2-a1) +(a2-a1)]>=2√[2/(a2-a1) *(a2-a1)]=2√2;
所以有：
tanA<=1/2√2=√2/4.

Answer 2

（1）Sn=na1+n(n-1)d/2,
∴Sn/n=a1-d/2+dn/2(d≠0）是n的一次函数，
∴点（1，S1/1),(2,S2/2),(3,S3/3)....(n,Sn/n)在同一条直线L1上。
（2）L1的斜率k1=d/2,
L2的斜率k2=a2-a1=d,
∴tanA=|(k2-k1)/(1+k1k2)|=|(d/2)/(1+d^2/2)|=|d/(2+d^2)|<=(√2)/4.

Answer 3

《1》 Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn/n=a1+(n-1)d/2
Sn-1/n-1=a1+(n-2)d/2
kn=(Sn/n-Sn-1/n-1)/(n-(n-1))=d/2 每相邻两点之间斜率相等，所以在同一条直线L1上
《2》k2=(a2-a2)/(2-1)=d
tanA=|(kn-k2)/(1+kn*k2)|
=|(d/2)/(1+d^2/2)
=|d/2+d^2|
=1/|2/d+d|
2/d+d>=2√2
1/|2/d+d|<=√2/4

Answer 4

Sn=n/2 *(a1+an)=n/2 *(a1+a1+(n-1)d)
Sn/n=1/2 *(a1+a1+(n-1)d)=a1+(n-1)d/2
取前两点，求前两点所在直线L1的方程
K=d/2 y-a1=K(x-1)=d /2*(x-1)
当x=n时，y=d /2*(x-1)+a1=(n-1)d/2+a1=Sn/n
即所有点（n,Sn/n）都在直线上。

Answer 5

证明：易得L1：y=a1+(n-1)*d/2
k1=d/2
k2=(a2-a1)/(2-1)=a2-a1=d
k1=tanA1
k2=tanA2
tanA=tan(A2-A1)
=(anA2-tanA1)/(1-tanA1-tanA2)
=(d-d/2)/(1+*d/2)
=d/(2+d*d)
=1/(2/d+d/2)
<=(四分之根号2）