Question

证明：若n阶矩阵A与B可交换,则A与B的任意多项式f(A)与f(B)也可交换

Answer 1

证明：AB 的行数即A的行数。AB 的列数即B的列数。∴AB=BA 时，A 的行数 (AB的行数) 等于B的行数(BA的行数)，B的列数等于A 的列数。

因为A与B的任意多项式f(A)与f(B)相乘展开的每一项都是A^k*B^m的形式。

由于A与B可交换，AB=BA,从而A^2*B=AAB=ABA=BAA=B*A^2，这就证明了A^2与B可以交换。类似的，用数学归纳法，就可以证明A^k与B可以交换。

那么，A^k*B^m就可以通过以上结论将每一个B交换到A^k之前，这就证明了A^k与B^m次方可以交换。

扩展资料：

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 [2]  在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。

针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

参考资料来源：百度百科-矩阵

Answer 2

为了证明这个命题，只需要证明A^k与B^m次方可以交换就可以了。
因为A与B的任意多项式f(A)与f(B)相乘展开的每一项都是A^k*B^m的形式。
由于A与B可交换，AB=BA,从而A^2*B=AAB=ABA=BAA=B*A^2，这就证明了A^2与B可以交换。类似的，用数学归纳法，就可以证明A^k与B可以交换。那么，A^k*B^m就可以通过以上结论将每一个B交换到A^k之前，这就证明了A^k与B^m次方可以交换。
从而，f(A)与f(B)相乘展开的每一项都是可以交换的，这就证明了命题。