Question

已知a,b,c是三角形ABC的三边长，求证:（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0

Answer 1

(a²+b²-c²)² -4a²b²
平方差
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
三角形两边之和大于第三边
所以
a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0
边长大于0
a+b+c>0
三正一负，
相乘小于0，所以,:（a²+b²-c²）²- 4a²b²＜0
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Answer 2

（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
因a,b,c为三角形三边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知：
a+b>c,a-b<c
所以(a+b)²>c²,即（a+b)²-c²>0
(a-b)²<c²,即(a-b)²-c²<0
所以：[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]<0
即：:（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0

Answer 3

解：（a²+b²-c²）²-4a²b²=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)，
因为a,b,c是三角形ABC的三边长，所以：a+b+c>0，a+b-c>0，a-b+c=a+c-b>0，a-b-c<0，
所以：(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0，即：（a²+b²-c²）²-4a²b²<0

Answer 4

（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0
（a²+b²-c²）²＜4a²b²
a²+b²-c²＜2ab
(a-b)²-c²＜0
(a-b+c)(a-b-c)＜0
因为a-b+c大于0，a-b-c小于0。（三角形两边之和大于第三边）
所以两个相乘小于。所以（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0。

Answer 5

（a²+b²-c²）²-4a²b²
=a^4+b^4-c^4+2a²b²-2a²c²-2b²c²-4a²b²

=a^4+b^4-c^4-2a²b²+2a²c²-2b²c²
=（a²-b²-c²）²
∵三角形两边之差小于第三边 且a、b、c均大于0
∴a-b＜c
∴a²-b²＜c²
∴a²-b²-c²＜0
∴（a²-b²-c²）²＜0
∴原式=（a²-b²-c²）²＜0

Answer 6

c^2= a^2+b^2- 2abcosC
a^2+b^2-c^2 = -2abcosC
(a^2+b^2-c^2)^2 = 4(ab)^2(cosC)^2
> 4(ab)^2
(a^2+b^2-c^2)^2 -4(ab)^2 >0