高二数学导数的题
在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其一底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为___________。请加以解释，谢谢！...
在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其一底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为___________。
请加以解释，谢谢！ 展开
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如图，过点A作直径BC的垂线交BC于E，设AE=h，O为圆心，则有√(r^2-h^2)=1/2AD
梯形的面积S=1/2[2√（r^2-h^2)+2r]h
s`=(r^2h^2-h^4)^(-1/2)*(r^2*h-2h^3)+r
令s`=0得到 r^2-h^2=r^2/4
AD=r
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r
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设梯形的上底长为2x,梯形为等腰梯形，所以h^2=r^2-x^2
S=1/2 *(2x+2r)*h
=(x+r)*√(r^2-x^2)
S'=√(r^2-x^2) - (x+r)*x/√(r^2-x^2)
=√(r^2-x^2) [1-x/(r-x)]
S'=0,1-x/(r-x)=0, x=r/2
当x<r/2，S'>0,当x>r/2，S'<0,
x=r/2是极大值点，此时面积最大。
上底长为2x=r
S=1/2 *(2x+2r)*h
=(x+r)*√(r^2-x^2)
S'=√(r^2-x^2) - (x+r)*x/√(r^2-x^2)
=√(r^2-x^2) [1-x/(r-x)]
S'=0,1-x/(r-x)=0, x=r/2
当x<r/2，S'>0,当x>r/2，S'<0,
x=r/2是极大值点，此时面积最大。
上底长为2x=r
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