Question

高二数学导数的题

过曲线L：y=x²-1（x＞0)上的点P作L的切线，与坐标轴交于M、N两点，试求P点的坐标，使△OMN的面积最小。
请加以解释，谢谢！

Answer 1

设p点坐标为（a，a²-1）【y=x²-1】
切线斜率为y’=2x
解得：则切线方程为y-(a²-1)=2a(x-a)
切线与x轴交点M横坐标为a+(1-a^2)/2a
切线与y轴交点N纵坐标为-1-a^2
则△OMN的面积S=(1/2)[a+(1-a^2)/2a][1+a^2]=(a^2+1)^2/4a
求S的导数，令其为零，
解得：a=根号3/3
解得：则P点为（根号3/3，-2/3).
将a=根号3/3代入：
则△OMN的面积S=(1/2)[a+(1-a^2)/2a][1+a^2]=(a^2+1)^2/4a
即可求出S。

Answer 2

设p点坐标为（a，a²-1） 切线斜率为y‘=2x，则切线方程为y-(a²-1)=2a(x-a),切线与x轴交点M横坐标为a+(1-a^2)/2a,切线与y轴交点N纵坐标为-1-a^2,则△OMN的面积S=(1/2)[a+(1-a^2)/2a][1+a^2]=(a^2+1)^2/4a,然后只要求S的导数，令其为零，即得a=根号3/3.。则P点为（根号3/3，-2/3). 明白了吗？