Question

已知数列｛an｝的前n项和sn=an n^2-

已知数列｛an｝的前n项和sn=an+n^2-1，数列｛bn｝满足3^n×b（n+1）=（n+1）a（n+1）-nan，且b1=3
（1）求an，bn
（2）设Tn为数列bn的前n项和，求Tn，并求满足Tn<7时n的最大值

Answer 1

答：
1）
数列An满足：Sn=An+n^2-1
所以：S(n+1)=A(n+1)+(n+1)^2-1
两式相减：A(n+1)=A(n+1)-An+2n+1
所以：An=2n+1
(3^n)B(n+1)=(n+1)A(n+1)-nAn
(3^n)B(n+1)=(n+1)*(2n+2+1)-n(2n+1)
(3^n)B(n+1)=4n+3
B(n+1)=(4n+3)/(3^n)=3(4n+4-1)/3^(n+1)
所以：Bn=3(4n-1)/3^n，满足B1=3
所以：An=2n+1，Bn=3(4n-1)/3^n
2）
请确认上述(3^n)*B(n+1)还是3^[nB(n+1)]，谢谢

追问

为(3^n)*B(n+1)，第二问呢？

追答

2）
Bn=12n/3^n-1/3^(n-1)
数列Cn=n/3^n和数列Dn=1/3^(n-1)
Sn=1/3+2/3^2+3/3^3+...+n/3^n
两边乘以3：
3Sn=1+2/3+3/3^2+4/3^3....+n/3^(n-1)
两式相减：
2Sn=1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-1)-n/3^n
2Sn=1*[(1/3)^n-1]/(1/3-1)-n/3^n
2Sn=(3/2)*(1/3^n)-3/2-n/3^n
Sn=[(3-2n)/4] / 3^n -3/4
Dn的和：Gn=1*[(1/3)^n-1] /(1/3-1)=(3/2)/3^n-3/2
所以：Tn=Sn-Gn=[(3-2n)/4] / 3^n -3/4 - [(3/2)/3^n-3/2]
Tn=3/4 - [(3+2n)/4] /3^n