Question

已知f(x)=x^3+3x^2，若若丨f(x1)-f(x2)丨≤4在x1,x2∈[0,m]上恒成立，求m的取值范围

Answer 1

解：丨f(x1)-f(x2)丨≤4在x1,x2∈[0,m]上恒成立
该问题等价于|maxf(x)-minf(x)|≤4,x∈[0,m]上恒成立
求导:f'(x)=3x^2+6x,=3x(x+2),x∈[0,m],m>0
显然x∈[0,m],m>0,恒有f'(x)>0
知脊袜f(x)在x∈[0,m],m>0上单调增加,得到
minf(x)=f(0)=0,maxf(x)=f(m)=m^3+3m^2,m>0
则|maxf(x)-minf(x)|=m^3+3m^2≤4,m>0
即(m^3+2m^2)+(m^2-4)≤0,m>0
亦即(m+2)(m^2+m-2)≤0,m>0
∵m+2>0,∴(m^2+m-2)=(m-1)(m+2)≤0,m>0
解得m的埋缓取值范弯野模围为：0<m≤1