Question

数学：已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0 的两个根都大1，求a+b+c 的值

Answer 1

设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
所以△=c²-4a是个正数的平方
△=c²-4a=(a-4)²-12
满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立
这时a=0或者a=8
当a=0时,b=-1,c=-2
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0
x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1
不合题意
当a=8时,b=15,c=11
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4
x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5
符合题意
a+b+c=8+15+6=29
所以a+b+c 的值 29

Answer 2

解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β，
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，
两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴
α+2=1β+2=3​或
α+2=-3β+2=-1.​
解得
α=-1β=1​或
α=-5β=-3.​
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3，或29．

Answer 3

设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1 相加
b-c-a=1 a+c=b-1

Answer 4

设x2+ax+b=0的两个解为x1,x2; x1+x2=-a; x1x2=b;
则x2+cx+a=0的两个解围x1+1、x2+1 ； (x1+1)+(x2+1)=-c; (x1+1)(x2+1)=a;
四式联立得a=-c-2; b=-1;
所以a+b+c=-3

追问

a=-c-2不对，应该为a=c+2

追答

a=c+2;
b=2a-1;
a+b+c=4a-3

追问

所以你还没能算出具体值！

Answer 5

a=0时，方程1两根为0,2.方程2两根为-1,1.此时应是满足题意的， a+b+c=-3可取