Question

设f(x)=1/(2^x+1) (1)Q求函数的值域 （2）证明f（x）是r上的增函数

Answer 1

已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x 1)(a>0,且a≠1,).
(1)求f(x)的值域
(2)判断f(x)的奇偶性
(3)讨论f(x)的单调性
解 (1)求f(x)的值域.
因为0<a^x< ∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x 1)=1-2/(a^x 1)>1-2/(0 1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x 1)=1-2/(a^x 1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

(2)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞, ∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x) 1)=(1-a^x)/(1 a^x)
=-(a^x-1)/(a^x 1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.

(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0, ∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1 a^x1)-(1-a^x2)/(1 a^x2)
=[(1-a^x1)(1 a^x2)-(1-a^x2)(1 a^x1)]/[(1 a^x1)(1 a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1 a^x1)(1 a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0, ∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞, ∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0, ∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1 a^x1)-(1-a^x2)/(1 a^x2)
=[(1-a^x1)(1 a^x2)-(1-a^x2)(1 a^x1)]/[(1 a^x1)(1 a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1 a^x1)(1 a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0, ∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞, ∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞, ∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞, ∞)内单调递减.

Answer 2

(1) (0,1)(2) 如果不是主题干打错了就是这道题有问题 （二的x次方加一）分之一在R上位减函数 证明如下： f(x)'= - 1 /(2^x+1)^2 ∵f(x)' 在R上恒小于0 ∴f(x)在R上位减函数

Answer 3

纠结