Question

已知a>2,b>1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为____

已知a>2,b>1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为____

Answer 1

解：
ab=a+2b+1
(b-1)a=2b+1
b>1 b-1>0
a=(2b+1)/(b-1)
2a+b
=2(2b+1)/(b-1) +b
=6/(b-1) +(b-1)+5
由均值不等式得，当6/(b-1)=b-1，即b=√6+1时，6/(b-1)+(b-1)有最小值2√6
此时，6/(b-1) +(b-1)+5有最小值5+2√6
a=(2b+1)/(b-1)=[2(√6+1)+1]/√6=2+ √6/2>2，满足已知条件 /此验证过程必须要
6/(b-1) +(b-1)+5的最小值为5+2√6。

以上才是本题的完整过程。

Answer 2

根据ab=a+2b+1
a=(2b+1)/(b-1)=2+3/(b-1)
所以2a+b=4+6/(b-1)+b=(b-1)+6/(b-1)+5
这就是是ax+b/x这个函数的模式了。
所以最小值是5+2根号6

Answer 3

解由ab=a+2b+1

得a+2b+1=1/2a×2b≤1/2[(a+2b)/2]^2
令t=a+2b
则上式变为t+1≤1/2×t^2/4
即t^2-8t-8≥0
方程t^2-8t-8=0的根为
t=（8+4√6）/2或t=（8-4√6）/2
即t≥4+2√6或t≤4-2√6（舍去）
故t的最小值为4+2√6
即2a+b的最小值为4+2√6。

Answer 4

Answer 5

原等式可变为3a+ab=4a+2b+1,从而2（2a+b）=3a+ab-1>3*2+2*1-1，故答案为3.5