Question

求三等分角不可行的证明过程

从初中开始，老师就告诉我们说，尺规做三等分角是不可能的，这个结论已经被证明，但我至今未找到这证明的过程，有哪位高人可以告诉我

Answer 1

1）.先说明尺规作图可能问题： 

  一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。 

    另外，用于尺规作图的直尺，没有刻度，只能用来画平面内经过两点的直线；圆规只能用来画给定圆心和半径的圆和弧。

2）.定理： 

  一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。 

3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的： 

  如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C 

过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ， 

令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中： 

cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0 

由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法) 

所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。 

现在也有不少“民科”声称他们解决了用尺规三等分任意角的问题，这只说明他们不懂得什么是数学，什么是一定的数学体系和数学证明。因为事实上，如果放宽尺规作图的限制条件，那么三等分任意也是可以的。

Answer 2

我和你一样，试过许多次，不行。证法是三角证法，或用高等数学的微积分啥的。有兴趣可以想想：化圆为方，立方倍积。统称为古希腊三大几何难题