Question

已知函数f(x)=(cosx)^2+asinx-2a-2

(1)当a= -2时，求满足f（x）=0的x的值

(2)当关于x的方程f（x）=0有实数解时，求a的取值范围

(3)若任意的x∈R,都有-5≤f（x）≤-1成立，求实数a的取值范围
要详细解答过程！！！

Answer 1

答：
f(x)=cos²x+asinx-2a-2
=1-sin²x+asinx-2a-2
=-sin²x+asinx-2a-1
=-(sinx-a/2)²+a²/4-2a-1

1）a=-2时：
f(x)=-(sinx+1)²+4=0
sinx+1=2或者sinx+1=-2
所以：sinx=1（sinx=-3不符合舍去）
所以：x=2kπ+π/2，k∈Z

2）
f(x)=-sin²x+asinx-2a-1=0有实数解
设t=sinx∈[-1,1]，方程化为：t²-at+2a+1=0有解
整理得：
a=(t²+1)/(t-2)=(t-2)+5/(t-2)+4<=-2√5+4
当且仅当t-2=5/(t-2)即t-2=-√5时取得最大值
因为：t-2∈[-3,-1]
所以：
t-2=-3时，a=-3-5/3+4=-2/3
t-2=-1时，a=-1-5+4=-2
所以：-2<=a<=-2√5+4

3）
f(x)=-sin²x+asinx-2a-1∈[-5，-1]恒成立
-5<=-sin²x+asinx-2a-1<=-1恒成立
设t=sinx∈[-1,1]：1<=t²-at+2a+1<=5
所以：0<=t²-(t-2)a<=4
即：
t+2>=a>=t²/(t-2)=(t-2)+4/(t-2)+4
因为：(t-2)+4/(t-2)+4<=-2√4+4=0，t-2=4/(t-2)即t-2=-2时取得最大值0
又因为：1<=t+2<=3
所以：t+2>=1>=a>=0>=(t-2)+4/(t-2)+4
所以：0<=a<=1

追问

第二小题能用二次函数求解吗？

追答

可以，但是非常麻烦，要讨论好多种情况
这种情况用分离变量法是比较简单、不容易出错的

追问

如果是二次函数的话要有解不是只要△≥0吗？然后再跟t的范围求交集，这种想法哪里错了？

追答

这种想法没有错误.......但不建议这种方法，因为t不是任意实数
容易出现增根

追问

(t-2)+5/(t-2)+4<=-2√5+4 基本不等式不是应该≥2√5+4吗？

追答

不客气，谢谢采纳支持，祝您学习进步