Question

已知点p(5,4),圆c的方程x^2+y^2-6x-8y-11=0,判断是否存在满足下列三个条件的圆d：1、圆d过p点；2、圆d和圆

相切；3、圆d的圆心的横纵坐标均为正整数，若存在，求出圆d的方程

Answer 1

x²+y²-6x-8y-11=0可以化为：
（x-3）²+（y-4）²=6²
所以圆C圆心为O1（3,4），半径为6。

设圆D的圆心为O2（a，b），a、b＞0，半径为r
即D的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
条件1：圆d过p点，说明（5-a）²+（4-b）²=r²
条件2：圆D和圆C相切，说明他们仅有一个共点（不管是内切还是外切）
把P点代入圆c的方程，5²+4²-6x5-8x4-11＝－32＜0，说明P点在圆C内，即圆C和圆D内切，且P点到圆C上最短距离即为圆D的直径,假设切点为E
E点在P点和O1（3，4）的连线PO1上。
由于P点和O1点的纵坐标都等于4，说明PO1为水平线，则b=4；
P点的横坐标为5，则P点在O1点的右侧。
将y=4代入方程x²+y²-6x-8y-11=0，得
x²-6x-27=0
解得x1=-3
x2=9
切点E的坐标为E（9,4）
O2（a，b）为线PE的中点，故
a=（9+5）÷2 =7
b=(4+4)÷2=4
r²=(((9-5)²+（4-4）²)^0.5/2)²=2²

所以圆D的方程为：
（x-7）²+(y-4)²=4

Answer 2

x^2+y^2-6x-8y-11=0可以化为（x-3）^2+(y-4)^2=36.即圆心O为（3,4）半径R为6.
将（5,4）代入上式左边得(5-3)^2+(4-4)^2=4<36,所以点p在圆O内。
假如存在所求圆d,只能是与圆O相内切。
又p的纵坐标与O一样，而圆O平行于x轴的半径交圆O的右部于点q（3+6,4）
所以所求圆d的直径为pq，长度为9-5=4。所以半径为2，圆心在点d（5+2,4）处，存在！
其方程为(x-7)^2+(y-4)^2=4.