Question

一道初中二次函数数学题~~请帮下忙，谢谢了！！

如图，Rt△ABC的顶点坐标分别是A（0，√3），B（-1/2，√3/2），C（1,0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0、√3/3），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B。
（1）求该抛物线的解析式（2）将△ABC沿AC折叠后得到的点B的对称点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上。
（3）延长BA交于抛物线于点E，在线段BE上取一点P,过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P,使四边形PADF是平行四边形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）D（0、√3/3）为顶点，设该抛物线的解析式为y = a（x-0）^2 +√3/3 （顶点式方程）
因为B（-1/2，√3/2）在抛物线上，带入得√3/2=a(-1/2)^2+√3/3 ,解得a=2√3/3,
所以解析式y = 2√3/3 * x^2 +√3/3

（2）因为A（0，√3），D（0、√3/3），所以AD=2√3/3
又因为C（1，0），D（0、√3/3），所以CD=2√3/3
AD=CD，所以∠DAC=∠DCA,
因为△ABC沿AC折叠后，∠DCA=∠B'CA , 所以∠DAC=∠B'CA ，内错角相等，AO‖CB'
又因为△ABC沿AC折叠后，∠AB'C=∠ABC=90°,所以∠B'CA+∠B'AC=90°,
而∠DAC=∠B'CA ，所以∠DAC+∠B'AC=90°,即∠B'AO=90°
而∠AOC=90°,所以∠AOC=∠B'AO，所以AB'‖OC
即四边形AOCB'是平行四边形，（根据：两组对边都平行的四边形是平行四边形）
又因为∠AOC=90°，所以四边形AOCB'是矩形（根据：有一个角是直角的平行四边形是矩形）
所以B'点坐标为（1，√3）（怎么来的不解释），
带入抛物线解析式y = 2√3/3 * x^2 +√3/3中等式成立，所以B'在此抛物线上

（3）图先自己画好
A（0，√3），B（-1/2，√3/2），所以直线AB解析式为y=√3x+√3（会求吧？不解释）
E在直线AB上，设E点坐标为（m ，√3m+√3），所以AE的斜率为√3（会求吧？不解释）
F在抛物线上，设F点坐标为（ n， 2√3/3 * n^2 +√3/3）
D（0、√3/3），所以DF斜率为2√3/3 * n （会求吧？不解释）
令两斜率相等，即√3=2√3/3 * n ，解得n=3/2 ，此时AP‖DF
而AD‖PF （因为什么？不解释）
所以四边形PADF是平行四边形，此时F点坐标为（3/2 ，11√3/6 ）
所以点P的坐标为( 3/2 ，15√3/6) （会求吧？不解释）

哪不懂可追问
希望回答对您有所帮助

Answer 2

我做过