Question

请教一道高数的题目（定积分的应用）

求曲线y=lnx与其在点(e,1)处的切线及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积v。

Answer 1

呵呵，简单！还是大学的题目有分量，喜欢做……

首先求曲线y=lnx在（e,1)的切线斜率，求导y'=(lnx)'=1/x,所以该点的斜率为k=1/e。
切线的方程为y-1=k(x-1),整理后为y=x/e，刚好通过原点！

然后是一个封闭图形的旋转，要用圆锥的体积减去一个类似与球缺的体积。用定积分求解：∫(x/e)dx-∫(lnx)dx，由于积分不容易表示，抱歉只能写成这样，第一个积分下限为0，上限为e；第二个下限为1，上限为e；

最后结果为(1/2)e-1,值得注意的是后一个积分要用分部积分法！不知道算错没？

高数好长时间没有学过了，现在大四了，哎，要离开学校啦……

高数一定要学好，不仅是你整个大学的基础，也会让你一生受用！