Question

请问射影定理是什么？怎样理解？

Answer 1

简单点说  可以用三角形相似来证明

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD²=AD·DC。其余同理可得可证[1]

有射影定理如下：

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。[1]

用勾股定理证射影定理

∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,

∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.

故AD²=BD×CD.

运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,

AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

Answer 2

直角三角形中做斜边上的高AD,AB方=BD*BC,AC平方=CD*BC,AD平方=BD*CD
由相似三角形推出来的

Answer 3

Answer 4

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。可以使用相似进行证明。

扩展资料：

验证推导：

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

两式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

参考资料来源：百度百科——射影定律