Question

若有一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个书是“上升的”。问一共有多

个这样的“上升的”自然数?

Answer 1

按题目若允许数字重复这下的自然数是无穷的。
故以下分析暂加入条件所有数字不能重复。
两位数时：
首位为1：12,13,14,15,16,17,18,19（8个）
首位为2：23,24,25,26,27,28，29（7个）
首位为3：--------
小计：36个
三位数时
首位为1：8*7=56个（按排列组合）
首位为2：7*6=42个（按排列组合）
首位为3：--------
小计：8*7+7*6+6*5+5*4+4*3+3*2+2*1=168个
四位数时
首位为1：8*7*6=336个（按排列组合）
首位为2：7*6*5=210个（按排列组合）
首位为3：--------
小计：8*7*6+7*6*5+6*5*4+5*4*3+4*3*2+3*2*1=756个
五位数时
首位为1：8*7*6*5=1680个（按排列组合）
首位为2：7*6*5*4=840个（按排列组合）
首位为3：--------
小计：8*7*6*5+7*6*5*4+6*5*4*3+5*4*3*2+4*3*2*1=3024个
六位数时
首位为1：8*7*6*5*4=6720个（按排列组合）
首位为2：7*6*5*4*3=2520个（按排列组合）
首位为3：--------
小计：8*7*6*5*4+7*6*5*4*3+6*5*4*3*2+5*4*3*2*1=10080个
七位数时
首位为1：8*7*6*5*4*3=20160个（按排列组合）
首位为2：7*6*5*4*3*2=5040个（按排列组合）
首位为3：6*5*4*3*2=720个（按排列组合）
小计：20160+5040+720=25940个
八位数时
首位为1：8*7*6*5*4*3*2=40320个（按排列组合）
首位为2：7*6*5*4*3*2*1=5040个（按排列组合）
小计：40320+5040=45360个
八位数时
首位只能为1：8*7*6*5*4*3*2*1=40320个
总计：125684个

Answer 2

两位数时，有8+7+...+1=36个
三位数时，有（7+6+...+1）+（6+5+...+1）+...+1
=28+21+15+10+6+3+1=（36-8）+（36-8-7）+...+1
=84个
四位数时，有[(6+5+...+1)+(5+4+...+1)+...+1]+[(5+4+...+1)+(4+3+...+1)+...+1]+...+1
=[21+15+10+6+3+1]+[15+10+6+3+1]+...+1
=56+35+20+10+4+1=（84-28）+（84-28-21）+...+1
=126个
由上可知，
五位数时，有（126-56）+（126-56-35）+...+1
=70+35+15+5+1
=126个
六位数时，有（126-70）+（126-70-35）+...+1
=56+21+6+1
=84个
七位数时，有28+7+1=36个
八位数时，有8+1=9个
九位数时，有1个
大于九位数，不存在“上升的”
故，共计有36+84+126+126+84+36+9+1
=502个
（加法太多了，可能会加错，ww）