Question

请教一个简单的高中数学题目

一个半径为1的圆，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线。则向量PA乘以向量PB的最小值是？怎么做？

Answer 1

如图，|PA|=|PB|=√(PO^2-R^2)

在直角三角形PAO中（o是圆心）

sin角POA=r/|PO|

cos角APB=cos(2*角POA）

＝1－2(sin角POA)^2=1-2r^2/|PO|^2

向量PA乘以向量PB的最

=|PA||PB|cos角APB

=PA^2*(1-2r^2/|PO|^2)

=(PO^2-r^2)*(1-2r^2/|PO|^2)

=po^2-2r^2-r^2+2r^4|PO|^2

=PO^2+2r^4|PO|^2-3r^2

>=2根号（PO^2*2r^4|PO|^2）-3r^2

=2√2PO^2-3r^2

=2√2PO^2-3    （Po>1)

>=2√2-3

Answer 2

解：在单位圆中另角APB为2a，则角APO为a。
向量PA乘以向量PBIPAI=*IPBI*cos2a=IPAI*IPBI*（2cosa^2-1）
=(IPAI^2)*(2*IPAI*IPAI\(IPOI*IPOI)-1)
=(IPOI*IPOI-1)*(2(IPOI*IPOI-1)\IPOI*IPOI-1)
=(IPOI*IPOI+2\IPOI*IPOI)-3>=2倍根号2减3
仅当IPOI*IPOI=根号2时取等。
此时最小值为2倍根号2减3

Answer 3

PA*PB=/PA/*/PB/*cosa
看似PA PB a都是未知数，不能求解。不能求解的潜词即是特殊值。
切线的夹角必然是小于等于90度的正角
COSa必然大于等于0 只有它=0时不论PA PB怎么样最小值=0

Answer 4

如图，不知对没有对。