二重积分是什么
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
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积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。
比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
参考资料来源：百度百科-二重积分
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。
二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
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在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。
参考资料来源：百度百科-二重积分
2、二重积分的定义：
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
3、二重积分的性质：
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ
性质6 二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
2、如果被积函数的量纲是Pa，则二重积分的意义为计算总压力；
3、如果被积函数的量纲是kg/m²，则二重积分的意义就是算总质量；
4、如果被积函数的量纲是C/m² ，则二重积分的意义就是算总电量；
结论：
1、二重积分是否有意义，要看被积函数的量纲，由量纲决定是否有物理意义。
2、数学老师出题，一般不会考虑什么物理模型、量纲，一般均无明确意义。
3、对于数学老师随意出出来的二重积分题，笼统地讲是算体积，其实是错的。
4、被积函数如果是1，而且这个1不带任何单位，那二重积分就是算总面积。
5、只要被积函数不是1，一般来说，二重积分没有明确意义，只是乱积而已。
数学老师给出来的二重积分的题，一般都是为了练习、熟练积分而出的题，
不必认真，只是练习而已。如果你一旦认真起来，无论你的天赋多高，创
造力多强，无论数学老师多烂，都会骂你“钻牛角尖”，“脑子有问题”。天才
就当成了白痴。
左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
积分变量可随便换字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
这样变成一个二重积分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：积分区域是a≤x≤b，a≤y≤b，这个区域具有轮换对称性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 这里用了个平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右边
证毕
