Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB一bcosA=1/2c。 (1)求

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB一bcosA=1/2c。
(1)求tanA/tanB的值。
(2)tan(A一B)的最大值，并判断当tan(A一B)取最大值时△ABC的形状。

Answer 1

1、a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA，将此式代入已知式子得，asinAcosB-acosAsinB=2bsinAcosA，因为a/sinA=b/sinB,所以sinAcosB=3sinBcosA，即tanA/tanB=3
2、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=(tanA/tanB-1)/(ctanB+tanA)=2/(ctanB+3tanB)
当ctanB=3tanB时，tan(A-B)取最大值，为3分之根号3
此时，tanB=3分之根号3，tanA=根号3，所以三角形ABC的形状为60度、30度、90度的直角三角形。