Question

导数求解

Answer 1

①：将a=-1代入，f（x）=e^x(-x^2),
f'（x）=(e^x)' (-x^2)+e^x(-x^2)'=e^x(-x^2)-2xe^x=-e^x(x^2+2x)
档x=1时，f（x）=-e，f'（x）=-3e
切线方程为y-（-e）=-3e（x-1），即y=-3ex+2e
②：f'（x）=(e^x)' (ax^2+a+1)+e^x(ax^2+a+1)'
=e^x(ax^2+a+1)+2axe^x
=e^x(ax^2+2ax+a+1)
当a≥0时，f'（x）=e^x【(ax^2+2ax+a〕+1】=e^x【a(x^2+2x+1〕+1】=e^x【a(x+1〕^2+1】
恒＞0，函数单调递增，要使在区间内等式恒成立，只须f（-2）≥2/e^2
f（-2）=e^(-2)(4a-1)=(4a-1)/e^2≥2/e^2
同乘以e^2 得：(4a-1)≥2，a≥3/4
当a＜0时，令f'（x）=0，
解得x=-1±√（-1/a）
其中-1+√（-1/a）＞-1，不会落在区域【-2，-1】内
因为-1-√（-1/a）＜-1，
当-1-√（-1/a）≥-2即a≤-1时，-1-√（-1/a）在区间【-2，-1】内，
f'（x）先小于0，后大于0 ，函数先递减后递增
的最小值为
f【-1-√（-1/a）】=e^【-1-√（-1/a）】｛a【-1-√（-1/a）】^2+a+1｝
=【2a+2√（-a）】/e^【1+√（-1/a）】≥2/e^2
两边同乘以1/2 × e^【1+√（-1/a）】＞0得：
a+√（-a）≥e^【√（-1/a）-1】
当a≤-1时，左边小于等于0，右边大于0，不等式不成立
当-1-√（-1/a）＜-2即a＞-1时，-1-√（-1/a）不在区间【-2，-1】内，
f'（x）大于0 ，函数在区间【-2，-1】内递增
要使不等式恒成立，只须f（-2）≥2/e^2，前面已解得，a≥3/4，与0＞a＞-1矛盾
所以，a≥3/4