Question

当x趋向于0时，tanx~x是等价无穷小的证明

Answer 1

lim(x→0)tanx/x

=lim(x→0)(sinx/x)*1/cosx

sinx/x极限是1,1/cosx极限也是1

所以lim(x→0)tanx/x=1

所以tanx~x

性质

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数在某的空心邻域内有界，则称g为当时的有界量。

5、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

6、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

7、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

Answer 2

x/tanx 当X趋向于0时，为0/0型未定式 用洛必达法则知 x/tanx=1+x^2 (x趋向于0时)=1
由等价无穷小的定义知，tanx~x是x趋向于0时的等价无穷小

Answer 3

lim(x→0)tanx/x
=lim(x→0)(sinx/x)*1/cosx

sinx/x极限是1,1/cosx极限也是1
所以lim(x→0)tanx/x=1
所以tanx~x

Answer 4

1、根据等价无穷小的定义来做：就两者相比的极限，需要用一次罗比达法则，即可求得极限为1.
2、或在秋求极限的时候利用sinx是x的等价无穷小也可以。
3、或者看图像，用斜率与极限的知识也可以解决问题。
答者系华师数学系。