Question

已知X∈[-π/3，2π/3」,求函数y=cos-sinˇ2x+1的最值、 并求取得最值时x的值

Answer 1

y=-(1-cos²x)+cosx+1
=cos²x+cosx
=(cosx+1/2)²-1/4

∈[-π/3，0」,cos递增
X∈[0，2π/3」cos递减
所以x=0，cosx最大=1
x=2π/3，cosx最小=-1/2

y==(cosx+1/2)²-1/4
-1/2<=cosx<=1
在对称轴cosx=-1/2右边，二次函数递增
所以
x=2π/3，y最小=-1/4
x=0，y最大=0

Answer 2

y'=-sinx-2sinxcosx=-sinx(1+2cosx)
令y'=0 又x∈[-π/3，2π/3] 得x=0或x=-π/3
所以可知x∈[-π/3，0]时 y'>0 函数单调递增
X∈[0，2π/3]时 y'<0函数单调递减
所以最大值在x=0处取得 y=2
而最小值在x=-π/3或x=2π/3处取得
而x=-π/3时y=3/4
x=2π/3时y=-1/4
所以x=2π/3时取最小值

综上可知x=2π/3时取最小值y=-1/4 x=0时取得最大值 y=2