Question

设A为正交矩阵，证明A^2也是正交矩阵

Answer 1

正交矩阵的定义:
设A为n阶方阵, 若 A'A = E, 则称A为正交矩阵. 其中A'表示A的转置矩阵.

证明: 因为A为正交矩阵, 所以 A'A = E
由转置的性质 (AB)' = B'A'
所以有 (A^2)'(A^2) = (A'A')(AA) = A'(A'A)A = A'EA = A'A = E.
所以 A是正交矩阵 #

Answer 2

正交矩阵满足的条件是：
A*A'=E A'为A的转置矩阵

A^2*(A^2)' =A*A*(A*A)'=A*A*A'*A'=A*(A*A')*A'=A*E*A'=A*A'=E
这里有两点：(AB)'=B'A' 带入A*A'=E
所以A^2也为正交矩阵

Answer 3

证明：A为正交矩阵，则AT*A=A*AT=E
A^2*(AT)^2=A*A*AT*AT=A*(A*AT)*AT=A*E*AT=A*AT=E
同理(AT)^2*A^2=E
所以A^2也是正交矩阵

Answer 4

A*A'=E A'为A的转置矩阵
A^2*(A^2)' =A*A*(A*A)'=A*A*A'*A'=A*(A*A')*A'=A*E*A'=A*A'=E
带入A*A'=E，所以A^2也为正交矩阵