Question

⒓已知f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f(x)f(y)=f(x+y)

⒓已知f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f(x)f(y)=f(x+y)① 求f(0)的值，并证明对于任意的x∈R都有f(x)>0；② 设x<0时，都有f(x)>f(0)，证明当x>0时，0<f(x)<1；

Answer 1

（1）∵对于任意的x，y∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)令x=y=0则f(0)f(0)=f(0)∵f（x）恒不为0∴f（0）=1∵f（x）=f（x/2+x/2）=[f（x/2）]�0�5∴f(x)＞0（2）证明：当x＞0时∴f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1∴f(x)=1/f(-x)∵当x＜0时，f(x)＞f(0),即f（x）＞1当x＞0时，-x＜0∴f(-x)＞1∴0＜f（x）＜1，得证

Answer 2

f(x)f(y)=f(x+y)当x=0时有f(0)f(y)=f(y) f(y)不等于0，所以f(0)=1f(x)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)>=0 f(x/2)不等于0，所以f(x)>02)f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)f(-x)=1/f(x)当x<0时，f(x)>1 -x<0时 f(-x)=1/f(x)<1