Question

证明:当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1，麻烦了

麻烦快一点，在考试，急着~~~谢谢了

Answer 1

证明：f(x)=xlnx-(x-1),f'(x)=lnx>0(因为x>1)f(x)是增函数，又f(1)=0,所以f（x)>f(1)=0,x>1.有,(x-1)/x<lnx，同理令g（x）=x-1-lnx ,g'(x)=1-1/x>0(因为x>1),g(x)是增函数,g(1)=0,所以g（x)>g(1)=0,x>1,有lnx<x-1,所以，当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1

Answer 2

先证右边，
设f（x）=x-1-lnx，x>=1，则
f‘（x）=1-1/x
当x>=1时，f‘（x）>=0，
故x>1时，f（x）>f（1）=0
所以lnx<x-1
然后证左边，
设g（x）=xlnx-（x-1），x>=1，
g’（x）=lnx+1-1=lnx >=0
故x>1时，g（x）>g（1）
即(x-1)/x<lnx
所以，当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1

Answer 3

设y=x-1-lnx
y'=1-1/x=(x-1)/x>0 说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx<x-1
再设y=lnx-(x-1)/x
y'=1/x-1/x2=(x-1)/x2>0 说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx>(x-1)/x
所以x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1

Answer 4

y=lnx-1+1/x 定义域 x>0
y'=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2 x>1 y'>0 y在x>1 上是增函数 ymin=y(x=1)=0
函数y=lnx-1+1/x >0 ,(x-1)/x<lnx
同理
y=x-1-lnx 定义域 x>0
y'=1-1/x 0<x<1 y'<0 y是减函数
x>1 y'>0 y是增函数
x=1 y'=0 y有极小值
x=1 y=0
y=x-1-lnx>0
x-1>lnx
当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1，