Question

请问这个不等式如何证明呢？谢谢。

x>0时。

Answer 1

经电脑检验，该不等式不成立

请看函数图像：

 

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

追问

非常感谢你哦，不过这个题可能是用到放缩法是吗？

追答

只要不等式两边不无限趋近，理论上就可以用放缩法
不过这道题。。。本身就有点问题。。。
我猜你可能漏掉一个条件：x∈N+

追问

是的，谢谢。我再看看啊。

追答

上面的都是错的你也采纳？
他把log当做ln了，我也评论指出了
你有仔细看吗？

追问

后面我查了，在国外的教材里是这样说的。

Answer 2

∵x＞0
∴不等式
x/(1+x)＜(x+1)log(1+x)
等价于
x/(1+x)²-log(1+x)＜0
令f(x)= x/(1+x)²-log(1+x)则
f'(x)= (1-x)/(1+x)³-1/[(1+x)ln2]
=[-x²-(2+ln2)x+(ln2-1)]/[(1+x)³ln2]
∵ g(x)=-x²-(2+ln2)x+(ln2-1)开口向下，对称轴x=-1-(ln2)/2＜0，在x∈(0，+∞)上单调递减，g(x)＜g(0)=ln2-1＜0
∴f'(x)=[-x²-(2+ln2)x+(ln2-1)]/[(1+x)³ln2]＜0
∴f(x)在x∈(0，+∞)上单调递减，f(x)＜f(0)=0
即
x/(1+x)²-log(1+x)＜0
∴原不等式成立