Question

已知函数f(x)=x－a/x－(a＋1)lnx(属于R)。(1)当0<a小于等于1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a,

已知函数f(x)=x－a/x－(a＋1)lnx(属于R)。(1)当0<a小于等于1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a,使f(x)小于等于x恒成立，若存在求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由

Answer 1

解：
1.
f'(x)=1+a/x^2-(a+1)/x=[x^2-(a+1)x+a]/x^2=[(x-1)(x-a)]/x^2,x>0,0<a≤1
令f'(x)=0得0<a=x1<=x2=1
当a=1,f'(x)=(x-1)^2/x^2>=0,且f'(x)不恒为0，得到f(x)单调增区间为(0,+∞)
当0<a<1,由f'(x)>0得f(x)单调增区间为(1,+∞)
由f'(x)<0得f(x)单调增区间为(0,1).

2.
若存在实数a,使f(x)≤x,x>0恒成立
既x-a/x-(a+1)lnx≤x,x>0恒成立
整理即a+(a+1)xlnx≥0，x>0恒成立
注意到a=-1时,上式显然不成立,所以a≠-1
该恒成立问题等价于ming(x)≥0，x>0其中g(x)=(a+1)xlnx+a,x>0
求导并令g'(x)=(a+1)(1+lnx)=0,得到x=1/e,

i)当a>-1时,有x∈(0,1/e),g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1/e,+∞),g'(x)>0,g(x)单调递增
知极小值g(x)=g(1/e),该极小值必为最小值
由ming(x)≥0
即ming(x)=g(1/e)=-(a+1)/e+a≥0,a>-1.解得a≥1/(e-1),此时恒有f(x)≤x,x>0.

ii)当a<-1时，有x∈(1/e,+∞),g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(0,1/e),g'(x)>0,g(x)单调递增
知g(x)无最小值，且有(x->+∞)limg(x)=-∞,因此g(x)=(a+1)xlnx+a≥0,x>0显然不恒成立.

综上,要使f(x)≤x,x>0恒成立,a的取值范围为:a∈[1/(e-1),+∞)