Question

关于线代线性方程组解的问题

当k为何值时，线性方程组 x1+x2+kx3=3 有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求通解。

x1+kx2+x3=3
kx1+x2+x3=4-k^2

Answer 1

........................1 1 k
系数矩阵为A = 1 k 1
........................k 1 1

.......................1 1 k 3
增广矩阵为B = 1 k 1 3
....................... k 1 1 4-k^2

将增广矩阵上三角化得到

1 1 k 3
0 k-1 1-k 0
0 1-k 1-k^2 4-k^2-3k

1 1 k 3
0 k-1 1-k 0
0 0 2-k-k^2 4-k^2-3k

根据定理
R(A) = R(B) = 3 时方程有惟一解
R(A) = R(B) <3 时方程有无穷多解
R(A)不等于R(B)时，方程无解

显然
k-1 和 2-k-k^2 均不为0时有唯一解
即k不为1，-2 时有唯一解

2-k-k^2为0，且4-k^2-3k均不为0时无解
即 k 为 -2时无解

2-k-k^2 ，4-k^2-3k同时为0方程有无穷解
即 k为1 时，有无穷解