Question

已知如图所示，DB为圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与圆O相切于点E，CB⊥AB，若AE：EC=2：1

已知如图所示，DB为圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与圆O相切于点E，CB⊥AB，若AE：EC=2：1，DE+BC=4+根号2，求S△ABC

Answer 1

连接OE、BE、DE，设CE=x，圆O半径为r，AD=y
已知AE/EC=2/1，所以：AE=2CE=2x
因为AC为圆O的切线，所以：OE⊥AC
且，∠AED=∠ABE
又，CB⊥AB
那么：Rt△AEO∽Rt△ABC
所以：AE/AB=AO/AC=OE/BC……………………………………（1）
即：2x/(2r+y)=(r+y)/3x……………………………………（2）
而，△AED∽△ABE
所以：AE/AB=AD/AE=DE/BE……………………………………（3）
即：2x/(2r+y)=y/2x…………………………………………（4）
由(2)(4)得到：
(r+y)/3x=y/2x
所以：y=2r
代入(4)得到：y=√2x
代入(3)中AD/AE=DE/BE得到：y/2x=DE/BE
所以：DE/BE=√2/2
即：BE=√2DE
已知，DE+BE=4+2√2
所以：DE+√2DE=4+2√2
则，DE=2√2
所以，BE=√2DE=√2*2√2=4
已知BD为圆O直径，所以△BED为直角三角形
那么，在Rt△BED中，由勾股定理得到：BD^2=BE^2+DE^2
即：(2r)^2=16+8=24
所以，r=√6
则：y=2r=2√6、x=y/√2=2√3
所以：
AC=3x=6√3、AB=2r+y=4√6
那么，在Rt△ABC中由勾股定理得到：
BC^2=AC^2-AB^2=108-96=12
所以，BC=2√3
所以，△ABC面积S=(1/2)AB*BC=(1/2)*4√6*2√3=12√2

Answer 2

没学