Question

如图,AD为△ABC的中线,∠ADB的平分线交AB于点E,∠ADC的平分线交AC于点F.求证:BE+CF>EF

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Answer 1

解答：
延长DF到P使DP=DF
连EP ∵DE,DF平分∠ADB,∠ADC
∴∠ADE=(1/2)∠ADB,∠ADF=(1/2)∠ADC
∴∠EDF=∠ADE ∠ADF=(1/2)(∠ADB ∠ADC)=(1/2)×180°=90°
∴DE⊥DF,即DE垂直平分FP
∴EP=EF(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)
∵DF=DP,∠FDC=∠PDB,CD=BD
∴△FDC≌△PDB(SAS)
∴CF=BP 在△BEP中,BE BP>EP(三角形两边之和大于第三边)
∴BE CF>EF
过C点作CM‖BE，交ED的延长线于M，连接FM
因为BD＝DC，CM‖BE，
所以△BDE与△CDM全等（自己证明），
得出BE＝CM，ED＝DM
因为∠ADE＝∠EDB＝∠MDC，∠ADF＝∠FDC
所以∠ADE＋∠ADF＝∠FDC＋∠MDC
所以∠EDF＝∠MDF，因为ED＝DM，DF为公共边
所以△EDF与△MDF全等，得出EF＝FM 因为CM＋FC＞FM
所以CM＋FC＞EF，又因为CM＝BE
所以BE＋FC＞EF，即EF＜BE＋FC

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