Question

四边形ABCD中，向量AB=向量DC=(1,1)，向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜求

边形的面积

Answer 1

由向量AB=向量DC=(1,1)，得|AB|=|DC|且AB//DC，所以四边形ABCD为平行四边形。
得向量BC=向量AD
向量BA/｜向量BA｜，向量BC/｜向量BC｜，向量BD / ｜向量BD｜都是单位向量，即向量的模都为1，因此
向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=BA/｜向量BA｜+向量AD/｜向量AD｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜
（上式在几何上的表述是：一个等腰三角形，底边是腰的根号3倍，由此可得各个向量之间的角度关系）利用三角函数可得向量BA与向量AD夹角60°（即AB与BC夹角60°），且向量BA与向量BD夹角30°
即平行四边形ABCD的角平分线BD平分角ABC，所以ABCD为菱形，边长=｜向量BA｜=根号2，且一组邻边夹角60°，所以面积为根号3。
有不懂的欢迎追问，有问必答。

Answer 2

向量BA/|BA|+向量BC/|BC|=根号3*向量BD/|BD|的意思是：
向量BA方向上的单位向量+向量BC方向上的单位向量=根号3*向量BD方向上的单位向量，
向量BA方向上的单位向量的模是1，向量BC方向上的单位向量的模是1，,根号3*向量BD方向上的单位向量的模是根号3，
根据余弦定理可知∠BAD=120°。
因为向量BA+向量BC=向量BD，
所以向量BA方向上的单位向量+向量BC方向上的单位向量与向量BA+向量BC平行，
所以|BA|=|BC|。
向量AB=向量DC的意思是向量AB与向量DC平行且相等,即ABCD为平行四边形，
所以ABCD为菱形。

因为向量AB=向量DC=(1,1)，所以向量AB的模=向量DC的模=根号2，
所以菱形ABCD的面积=1/2•根号2•根号2•sin60°=根号3/2.

Answer 3

由向量AB=向量DC=(1,1)，得|AB|=|DC|且AB//DC，所以四边形ABCD为平行四边形。
得向量BC=向量AD
向量BA/｜向量BA｜，向量BC/｜向量BC｜，向量BD / ｜向量BD｜都是单位向量，即向量的模都为1，因此
向量BA/｜向量BA｜+向量BC/｜向量BC｜=BA/｜向量BA｜+向量AD/｜向量AD｜=根号3*向量BD / ｜向量BD｜
即平行四边形ABCD的角平分线BD平分角ABC，所以ABCD为菱形，边长=｜向量BA｜=根号2，且一组邻边夹角60°，所以面积为根号3。
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