Question

线性代数 方程组解的结构

已知线性方程组ax=b有两个不同的解a1.a2.而b1.b2.b3是相应齐次方程组ax=0的基础解系，k1k2k3是任意常数，则非齐次方程ax=b的通解为？
a:k1b1+k2(b1+b2)+k3(b1+b2+b3)+(a1+a2)
b:k1b1+k2(b1+b2)+k3(b1+b2+b3)+(a1-a2)
c.k1b1+k3(b1+b2+b3)+3a1-2a2
d.k1b1+k3(b1+b2+b3)+a1
恳请详细解答

Answer 1

没有正确答案，只有第一个选项与正确答案比较接近，要把a1+a2换成(a1+a2)/2。

追问

我好像是抄错题了呢。为什么选a呀？

追答

非齐次线性方程组的任意两个解的平均值还是解，因为A((a1+a2)/2)=(Aa1+Aa2)/2=(b+b)/2=b，再进一步，任意两个解a1,a2的线性组合ka1+ma2在k+m=1时很明显也是解，所以这里的(a1+a2)/2换成(a1+2a2)/3，2a1-a2，(3a1+2a2)/5等等都可以。
常用结论是：
齐次线性方程组Ax=0的任意有限个解的线性组合还是解；
非齐次线性方程组Ax=b的任意两个解的差一定是Ax=0的解；
Ax=0的解与Ax=0的解之和还是Ax=b的解；
Ax=b的任意有限个解的线性组合k1a1+k2a2+...+knan如果是Ax=b的解，则系数之和k1+k2+...+kn=1。

Answer 2

若选项A中 a1+a2 改为(a1+a2)/2, 则 选A。
非齐次方程组 Ax=b 特解是 (a1+a2)/2,
导出组即对应的齐次方程 Ax=0 的基础解系是 b1. b2. b3，
取任意常数 (k1+k2+k3), (k2+k3), k3,
则 Ax=b 的通解是
x= (k1+k2+k3)b1+(k2+k3)b2+k3b3+(a1+a2)/2 。

追问

对的。我好像是抄错题了。为什么非齐次方程的特解是(a1+a2)/2？B选项也写少了/2。谢谢。

追答

Aa1=b, aa2=b, 则 A[(a1+a2)/2]=b， 即 (a1+a2)/2 也是特解。

追问

谢谢了。。辛苦了呢。。