Question

高中数学求解！

已知F(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.
1.求函数F(x)的极值点
2.若F(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围
3.证明：㏑2/3+㏑3/8+㏑4/15+……+㏑n/n²-1＜(n+4)(n-1)/6
(n∈正整数，n≥2)

Answer 1

解：
1.
F'(x)=1/(x-1)-k=[kx-(k+1)]/(x-1),x>1
当k≤0时恒有F'(X)<0,F(x)无极值点
当k>0时令F'(x)=k[x-(1+1/k)]/(x-1)=0,得唯一驻点x0=1+1/k>1
且x∈(1,x0),F'(x)<0,F(x)单调递减;x∈(x0,+∞),F'(x)>0,F(x)单调递增,
得到F(x)极小值点为x=1+1/k.(k>0)

2.
F(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
若F(x)≤0恒成立,注意到x-1>0,分离常数k只需
k≥[ln(x-1)+1]/(x-1)=g(x)（记）,x∈(1,+∞)恒成立
该问题等价于k≥maxg(x),x∈(1,+∞)
令g‘(x)=-ln(x-1)/(x-1)=0,得唯一驻点x=2
当x∈(1,2),g'(x)>0,g(x)单调递增;x∈(2,+∞),g'(x)>0,g(x)单调递减,
知极大值g(x)=g(2)，且该极大值必为最大值,则有maxg(x)=g(2)=1
由k≥maxg(x),得到k的取值范围为k∈[1,+∞)

3.
取k=1,且恒有F(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1≤0,x>1
整理即ln(x-1)<x-2,x>1变形则恒有lnt<t-1,t>0显然有
[lnt]/[t²-1]<(t-1)/(t²-1)=1/(1+t),t>1
我们取n（≥2>1）替换上式t得到
[lnn]/[n²-1]<1/(1+n),......(*)
注意到n≥2,(n+1)/3-1/(n+1)=[(n+1)²-3]/[3(n+1)]>0,
因此,当n≥2恒有(n+1)/3>1/(1+n)......(**)
由(*)(**)得到[lnn]/[n²-1]<(n+1)/3
将该不等式中的n依次从2取到n累加有
(㏑2)/3+(㏑3)/8+(㏑4)/15+...+(㏑n)/[n²-1]<(1/3)[3+4+5+...+n+(n+1)]=(1/3)(1/2)(n-1)(n+4)=(n+4)(n-1)/6
命题得证。