Question

正弦函数的傅里叶频谱有哪些特点?

Answer 1

从理论上讲，正弦函数的傅里叶变换是冲击函数：

它的幅值为原正弦信号幅值的1/2倍；即：若x(t)=Acos(Ωt)，则其频谱幅值最大值为A/2；

但是，我们用matlab求出来的频谱图却不是这样的；
原因是：
1.理论中的正弦信号是无限长连续信号，而matlab，参与运算的信号只是截取了其中1个周期或多个周期的信号，就变成 了有限长信号了；无限长信号和有限长信号的傅里叶变换是不一样的！
2.理论中的正弦信号是连续的模拟信号，而应用中的正弦信号都是采样，量化处理的，是数字信号；模拟信号和数字信 号的傅里叶变换是不一样的！
对于已知周期的信号，通常只需要取其中一个周期做代表分析；但实际应用中，信号的频率通常已知，但噪声的频率却不固定，所以，应尽可能长的截取信号；
下面介绍在Matlab中，如何分析正弦函数的FFT：
已知正弦信号 x(t)=4.6sin(2*pi*f0*t)，每周波采样点数Ns=512，采样频率fs=f0*512；（f0为正弦信号的固有频率）
在Matlab中需要做一下处理：
1.将时间轴离散化： ts = tp * n=(T0/Ns) * n =n/f0*512=n/fs; n = 0:511； tp为每周波采样512点的时间间隔;
2.将连续信号x(t)离散化：x(ts)= 4.6sin(2*pi*f0*ts) = 4.6sin(2*pi*n/N)；
可以看出x(t)离散化后，已经与信号的固有频率没关系了，这个信号已经变成了与n相关的函数：
x(n)= 4.6sin(2*pi*n/N)； n = 0:511；
3.离散信号在Matlab中求FFT就很容易了：
X(n)= FFT( x(n) ) *2 / Ns ；
4.根据周期信号的傅里叶变换的性质：时域的周期，造成频域的离散；时间的离散，造成频域的周期；
可知：X(n) 为离散的，且有周期；离散点的间距正好是正弦信号的固有频率f0 ；周期为采样周期1/fs；
X(0),X(1)....分别对应x(t)的第0次,1次...谐波；
5.如果要在二维图上显示频率与频谱幅值的关系，还需要：
将横轴映射为频率值，映射关系为 f = n*f0；
6.根据奈奎斯特采样定理，当采样频率为fs时，可以得到FFT后的最高有效频率为fs/2；最高谐波次数为Ns/2-1；

具体实现如下（Matlab中，已调试通过）：
%求正弦信号的傅里叶变换
Ns = 512; %采样点
n = 0 : Ns-1;
xn = 4.6*sin(2*pi*n/Ns); %离散的正弦信号
Xn = fft( xn ) ; %fft的结果是复数
Xn = abs(Xn) *2 /Ns; %求绝对值得到幅值，乘以2，乘以Ns是由傅里叶变换公式导致的
%用二维图显示原始正弦信号
subplot(3,1,1),plot(n, xn); %画出原始正弦信号
xlabel('n = 0:511'); ylabel('振幅');
title('原始的正弦信号');
%用二维图显示信号0~255次的谐波
Nyquist = Ns/2-1; %根据奈奎斯特定理，只需显示前255次的谐波

subplot(3,1,2),plot(n(1:Nyquist), Xn(1:Nyquist));
xlabel('n = 0:255'); ylabel('谐波幅值');
title('0~255次的谐波');
%用二维图显示信号频率与幅值的关系
f0 = 50; %假设信号的固有频率为50Hz

f = n*f0; %频率与横轴序列n的映射关系
subplot(3,1,3),plot(f(1:Nyquist), Xn(1:Nyquist)); %根据奈奎斯特定理，只需显示前fs/2部分的频谱
xlabel('f = 0, 50Hz... 255*f0 Hz '); ylabel('幅值');
title('频率与幅值的关系');
运行结果如下：

图中，在f = f0 = 50Hz时，幅值为4.6；即一次谐波幅值为4.6.

Answer 2

一般情况下周期信号可以用傅里叶级数去表达 将信号函数用正弦或者余弦的组合式去表示 或者用指数组合形式去表达 ；
因为余弦或者正弦可以用欧拉公式进行联系，进行 相互转换 ；
如何如何展开 ？这得运用到三角级数以及指数级数的公式
傅里叶变换是针对非周期信号函数 也就是说 对于一个非周期信号函数可以用傅里叶变换去表示 以便更好地去分析一个信号的特性 至于频谱和时域是这样的 一个信号函数一般表示成关于时间T 的函数，有时候我们不能很好地去从时域进行分析 此信号的某种特性，于是乎 借助于傅里叶正变换 将一个时域信号表达式转换成频域进行分析 也就是所谓的频谱（有振幅频谱和相位频谱 用这两种变量很好地去描述信号的特性）此时信号就转换成关于频率w的函数了

Answer 3

一般情况下周期信号可以用傅里叶级数去表达 将信号函数用正弦或者余弦的组合式去表示 或者用指数组合形式去表达 ；
因为余弦或者正弦可以用欧拉公式进行联系，进行 相互转换 ；
如何如何展开 ？这得运用到三角级数以及指数级数的公式
傅里叶变换是针对非周期信号函数 也就是说 对于一个非周期信号函数可以用傅里叶变换去表示 以便更好地去分析一个信号的特性 至于频谱和时域是这样的 一个信号函数一般表示成关于时间T 的函数，有时候我们不能很好地去从时域进行分析 此信号的某种特性，于是乎 借助于傅里叶正变换 将一个时域信号表达式转换成频域进行分析 也就是所谓的频谱（有振幅频谱和相位频谱 用这两种变量很好地去描述信号的特性）此时信号就转换成关于频率w的函数了

Answer 4

图像中表现为一些离散的谱线，谱线出现的频率位置为正弦函数的频率。